Согласно довольно строгим правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур – 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую пространственную фигуру, которая напоминает сферу. Это, так сказать, спортивное определение футбольного мяча.

А теперь выясняется, что в порядок этой строго заданной фигуры можно вносить самые разнообразные изменения. И от кого бы вы думали исходит этот анархистский импульс? Ни за что не поверите – всё от тех же людей, обожающих точные определения – от математиков.

Как утверждает Иварc Петерсон (Ivars Peterson) в своей статье о матэкспериментах с футбольными мячами, модели этих спортивных снарядов вполне могут быть преобразованы в другие мячи сферической и даже тороидальной формы.

Автор, правда, в оригинале говорит о форме пончика, но, думается, что его утверждение и без того звучит несколько шокирующее.

	Слева — усечённый икосаэдр, справа – футбольный мяч обыкновенный (иллюстрация с сайта en.wikipedia.org).

Но тут же он задаётся целым рядом вопросов, о которых нематематик наверняка даже и не задумается: есть ли другой способ расположить кусочки покрышки? Можно ли использовать другие фигуры вместо пяти— и шестиугольников? И вообще, могут ли мячи выглядеть как-то иначе?

Котшик говорит, что футбольный мяч соответствует следующим требованиям, опирающимся на теорию графов:

1. Он является многогранником, состоящим исключительно из пяти— и шестиугольников;
2. Пятиугольники своими сторонами касаются только шестиугольников;
3. Стороны шестиугольников могут касаться сторон как пяти-, так и шестиугольников.

Если потребовать, чтобы в вершинах соприкасались три фигуры, то получится обычный мяч. Но если это требование изменить, то возможными станут многие другие варианты дизайна.

Сделать это можно с помощью математического аппарата, называемого разветвлённым покрытием (краткую информацию на английском языке о разветвлённом покрытии читайте здесь).

Такое своеобразное развлечение можно назвать научным, ведь футбольный мяч вполне можно назвать математическим объектом. Более того, его модель получила место в классификации геометрических фигур, и называется она "усечённый икосаэдр" (о свойствах этой фигуры можете подробнее почитать тут).

Официальный футбольный мяч Кубка мира-2006. Сделан всего из 14 изогнутых кусочков – математикам тут не особо порезвиться. Впрочем, как знать… (фото с сайта sciencenews.org).

К примеру, Котшик рассказывает, как можно создать "новый" мяч вот так…

Представьте обыкновенный футбольный мяч, собранный из обычных 32 кусочков-граней, наложенных на поверхность Земли так, чтобы одна из вершин находилась на Северном полюсе, другая – на Южном. Прочертите маршрут от полюса до полюса так, чтобы он проходил по сторонам граней. После этого – всего-то! – вытяните получившуюся ломаную линию в прямую – "меридиан", "выпрямляя" стороны граней, образующих линию.

Затем сделайте разрез вдоль одного меридиана и, придерживая полюса на местах, ужимайте поверхность – что может быть проще? – до тех пор, пока она не станет занимать ровно полушарие (западное, например). Затем сделайте копию этой поверхности и покройте ею незакрытую половину сферы (то есть, восточное полушарие).

Дальше ещё проще – сшейте два полушария. Получили новый мячик, у которого пяти— и шестиугольников стало вдвое больше.

"Причина в том, что оба шва от полюса до полюса, как и обе стороны разреза, который мы сделали вначале ещё на обычном мяче, неразличимы, — объясняет Котшик. – Поэтому два получившихся куска подходят друг к другу идеально".

"Свежеиспечённый" мяч на математическом языке и называется разветвлённым покрытием первоначального мяча, а полюса (которые, как вы помните, нужно было держать зафиксированными; вы их крепко держали?) называются точками разветвления.

Обратите внимание, что новый мяч продолжает удовлетворять прежним условиям: он всё так же состоит из пяти— и шестиугольных граней, пятиугольники касаются сторонами только шестиугольников, а стороны шестиугольников примыкают и к тем, и к другим. Поэтапно этот процесс можете изучить на иллюстрации.

Поэтапное удвоение количества граней усечённого икосаэдра. Цветные шарики добавлены, чтобы легче было убедиться, что края разреза идентичны. А грани окрашены в чёрный и белый, чтобы не забывали, с чего, собственно, всё началось (иллюстрация Michael Trott).

Кстати, для этой версии мяча разрезанную поверхность потребуется сжимать не до полусферы а до… Пусть это будет маленьким "заданием на дом".

Существует ещё множество самых разнообразных опытов, в которых происходят такие перемены, которые словами описать труднее.

Например, математик Майкл Тротт ( var begunhyper_auto_colors = new Array(); begunhyper_auto_pad = 75164584; // идентификатор площадки (Эту цифру вы получаете от Бегуна) begunhyper_auto_colors[0]='#FF0000'; // цвет ссылки объявлений begunhyper_auto_colors[1]='#000000'; // цвет текста объявления begunhyper_auto_colors[2]='#A9A9A9'; // цвет домена объявления begunhyper_auto_colors[3]='#FFFFFF'; // цвет фона блока объявлений begun_hyper_limit=3;